竹林班 112學年秋季第一週

極限與無限第一

江昌倫

各位平安

我們很在意孩子們的姿勢，有些孩子，能坐就不站，能躺就不坐。這句話很 有意思。

站與躺是兩個極端，坐在站與躺之間 若我們要與孩子們談重要的事情，站著 並不是合適的，因為站著很需要意志，談事情的時候需要思考，思考的自由性 是需要空間的 所以我們會覺得，站著講話，有點像是在訓話。坐著的時候，有 一部分是放鬆的，一部分是直立著的。這樣一部分放鬆，一部分直立的姿態， 是很適合學習的狀態。

這樣的狀態，與活在3維空間的我們有關，我們的情感相應於直立的軸線，愉 快的時候我們抬頭挺胸，難過的時候垂頭喪氣，我們的意志相應於前後的軸線 ，想做的事情勇往直前，雖千萬人吾往矣，不想做的事情裹足不前退避三舍。 我們知道心魂有三元，意志、情感與思考，如果意志相應於前後，情感相應於 上下，那麼思考就相應於左右。無論中西方，中古世紀的武士，右手持劍，左手持盾。右手訴諸感性腦衝同理直覺，左手防衛訴諸理性離斥分析冷血

但是真正的思考，既是左也是右，也不是左也不是右 而是在左右之間的平衡 。這種狀態，會帶來一種喜悅感，甚至是自由的感覺。於是我們會Aha地抬頭說 我明白了。若是在數學上，就是傾向同理的幾何以及分析的代數，既是形與數 間的平衡，也超越了形與數的限制的，這邁向自由的過程，也是探究無限的旅 程。

我們先來看看九年級到十二年級的發展。

九年級時，要發展的是社會性的判斷(連結的判斷) 上次我們有說過瞎子摸象 的故事，九年級的學生容易陷溺在自己所見的，但也欣喜於可以看見其他人看 見的。要如何做到這件事情呢？物理課程進行的是運輸與通訊，數學進行的是 排列組合與圓錐曲線(形變) 我們如何互相溝通，從排列組合看到混亂中的規律

十年級時，要發展的是精準的判斷，我們如何做到這件事情呢？在數學上， 土地測量時學生需要計算上千筆的數據，每一筆數據都是對的，但再精準都會 有誤差，明白誤差的來源且減少誤差，就如同對數，對數是無理數，可以逼近 但無法窮盡，也就是說，我們利用對數表所進行的大數計算，2^100次方等等， 都是近似值而不是準確值。但正是我們接受了這無窮無盡的逼近過程，方能運 用在現實生活裡。事實上就是，土地測量與對數計算的結果，絕對不是土地或 數字的準確值，但在測量與計算的過程中，除了不斷接近完美的成果，地圖也 好，大數計算也好，我們更在這接近無限的過程裡，有了一種奠基於圖面或數 字，也超越了圖面與數字的明白 以對數這樣概數的方式找出極大數字，比如說 一堆根號或次方等等，這樣的數字會因為計算後，我們有了那是多少的感覺， 就像是求出根號2的近似值是重要的，因為會有一種數量感。根號2是準確值， 但很難有感覺，近似值會有感覺那是多少。比如說我們在土地測量後，每個學 生以共同數據所畫出來的地圖，都不會完全一樣，當我們問他們說，這樣各位 對你的地圖有把握嗎？學生說，那是當然的，因為一個星期裡，這個地方的每 個角落，我都走了上百次。這是精準的判斷，真實是無法被窮盡的，但是在不 斷窮盡的過程裡，我們獲致了新的經驗。

十一年級時，要發展的是內在心魂的判斷inner soul judgement 高中的十一年 級，已是另個階段，這時可說是真正的我進入了孩子的內在。我們可回想看看 過去的成長經驗，是否在高二這年，有種很不一樣的感覺。 這時發展核心在進入特別的孤獨或陷落感，乾卦的「或躍在淵」可協助理解 這狀態。這孤獨陷落的感受，有時候會讓我們不太認得自己的孩子，就如同化 蛹，正在經歷內在尋找與醒覺的時間。與孩子深刻的有品質的對談與書信，能 協助這段辛苦的成長。 極限與無限，外在培養的技能是微積分預備，內在涵養的是對不可分量，對 無限小，這不是量的存在的確定感。簡單說，如果我看不到努力的確定結果， 是否我就不努力了？但是什麼支持著我能繼續進行這樣沒有明確結果的努力呢 ？這是無限小的核心，也是在看似沒有物質存在的量子世界裡，行動的自我肯 認。 因此，華德福學校在這年才會教解析幾何，也就是Cross，這個我的誕生 這年 ，學生學習天文學，同時也學習胚胎與細胞學，天文學是無限，細胞也是，無 限大與無限小，往兩個方向走，卻是相同的。數學上除了解析幾何之外，11年 級也會上投影幾何、極限與無限的主題，或是球面三角。投影幾何與天文相同 ，是無限大，極限與無限是無限小。解析幾何在數與形，左與右之間找到對話 的橋樑，球面三角在大地與天球之間航行，是GPS的定位原理

十二年級時，要發展的是自由的判斷，比如說物理學的光，光是射線，是波 還是粒子？是理解無限的自由判斷。

無限並不是現代才有的概念，孩子在數數的時候，就碰觸到了無限，小時候 我們家的孩子會說，我要一個，我要兩個，我要十個，姊姊會說，我要一百個 ，這就很驚人了。妹妹後來學會了，大聲地說，我要一百，驕傲地看著姐姐， 三年級的姐姐立刻說，那我要一千，我要一萬，又突然說了一句，我要無限啦! 兩個妹妹嚇得目瞪口呆，那到底是甚麼？

孩子們在小時候玩過數箱，數箱裡一個個擺進去，一條10個，一面10條，一 箱10面，一箱1000個，也就是10的3次方。但接下來，老師會問一個問題，一個 很有意思的問題，老師會問說，那麼，這間教室的地板上可以放幾箱？這間教 室裡可以放幾箱呢？整個學校有幾間教室呢？

五年級的時候，孩子們會碰到小數，0.333…，這是第一次孩子們在數字上， 清楚地看見無限，但是這個無限並不是真正的無限，這個無限會終止，因為可 以被寫成1/3這個有理數。

七年級時，我們先在故事中經驗大航海時代，那個從平面到立體，地球是圓 的的內在歷程。

八年級時，在畢氏定理的操作裡，窺見了根號2這第一個無理數，正式開啟與 無限工作的大門。

九、十年級，如上所述，無限這主題一直以不同的方式圍繞著，但在十一、 十二年級時，我們會直接挑戰這個主題。

大學聯考結束後，有位朋友說，如果數學考試不限時間，他一定可以滿分 。事實上，有個國家的數學考試幾乎是不限時間的，是德國。德國的數學考試 時間，長達5個小時，各位可以想像，如果是這麼長的考試時間，最必要的不是 熟練題型，而是對數學的理解。

數學常被視為工具，尤其是科學的工具，因為數學不好(分數不佳?) 被認定為 無法掌握工具，而就此遠離科學的學生有多少呢？

數學當然有其實用的部分，但數學被發展的過程，從來不是因為要實用而被 發現的呀。數學家是將數學視為藝術的，有本很值得推薦給大家的書：《一位 數學家的嘆息》。這本書的開始，引用《小王子》裡的一段話：「如果你要造 船，不要招攬人來搬木材，不要指派人任務和工作，而是要教他們去渴望那無 邊無際廣袤的大海。」

曾有位對數學一直很有興趣的孩子，在閱讀這本書後引用了這段話：「教改 的迷思在於要讓數學變有趣，以及與孩子們的生活產生關聯。但事實上，你不 需要讓數學有趣，他本來就遠超過你了解的有趣!而他的驕傲就在可以與我們的 生活可以完全無關，這就是為什麼他如此有趣。」他說，確實如此，會吸引著 他持續思考的，是因為思考這些問題本身就非常有趣，而不是為了要解決甚麼 問題而已。

極限與無限這門課程，從碎形正方(Square Fractals)開始，在畫這圖的時候， 感覺到些甚麼嗎？我感覺到，這些亮與暗之間，有著秩序與增長的美麗，這些 美麗，更與其中安靜也騷動著的空間有關，空間其中的靜謐之地，無限小的靜 謐之地，讓我有著仰望夜空蒼穹看著星星的感覺。

剛剛我們說：「如果我們要造船，不應該是招攬人來搬木材或指派工作， 而是讓他們去渴望大海呀。」這是很好的時間，可以仰望星空，在凝望無限遠 時，我們也許會發現內在的無限小，那內在的，無窮無盡的靜謐之地。

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