竹林班 112學年夏季 第四週

C11 海之聲〈投影幾何〉 Tr. Alan

在平面上任意畫3條線，可將平面分成幾個區域呢？很明顯地，我們看到了7個不同的區域。

如果我們讓其中兩條線，成為平行的時候呢? 這時候是6個區域嗎?若是如此，那麼，剛剛的第7個區域到哪裡去了呢？有些學生說：「到無窮遠處去了。」

「無窮遠處似乎是一個很容易拿來解決問題的方式？」然而，真的是如此嗎？若兩條線平行時，其中一個區塊就到了無窮遠處，那到底是甚麼狀況呢？有沒有清楚的、一致的邏輯可以說明變來變去的原因？

當我們說同一個區域時，是怎麼判斷的呢？若我們想像區域裡有無數多個點，那麼，所謂的同個區域，就是其中任意兩點可以以一條線相連。

以一條線來思考呢？是兩個區域嗎?「或是一個區域呢？若考慮到無窮遠處的話。」

「若考慮到無窮遠處的話，那兩條線時，就是2個，而不是4個區域了。」

我們可以將幾條線在考慮無窮遠處與不考慮的狀況列表寫下來：

一條線：1個區域(考慮無窮遠)，2個區域(不考慮)

二條線：2個區域(考慮無窮遠)，4個區域(不考慮)

三條線：4個區域(考慮無窮遠)，7個區域(不考慮)

四條線：7個區域(考慮無窮遠)，11個區域(不考慮)

五條線：11個區域(考慮無窮遠)，16個區域(不考慮)

我們可以發現，左邊與右邊差了一階，左邊會是右邊的前一階狀況，如三條線時，考慮無窮遠是4個區域，卻是不考慮無窮遠的二條線區域數。

那是甚麼原因呢？

在考慮右邊(古典歐幾里得幾何)時，我們無意識地預設了另條線的存在，所謂二條線(在右邊)會是4個區域的原因是，我們預設了這4個區域的「邊界」：也就是「無窮遠線」。

若我們將這條無窮遠線放進考慮時，也就是考慮無窮遠的狀況時，表格左側與表格右側就完全一致了：比如說，二條線的右側，其實是2+1條(無窮遠)線。

意識到無窮遠的存在，不將其誤解為可以解決問題的方便說法，而是將其以清楚一致的邏輯，擴充原有的幾何體系，使其沒有例外，即是投影幾何邁向自由的努力。數學，就是一門既古典又現代的學問，所有新提出的問題在被處理之後，都讓這幾千年的古典學問不斷更新。若以3C軟硬體的想法來說，數學可是超級有責任心，不斷將古典的產品更新到現在的佛心公司呢。

最後，提供兩個進一步的問題供各位討論：

1. 零條線時，左側與右側的狀況會是什麼？之間的關係可以繼續保持一致嗎?

2. 請仔細以多邊形(3邊、4邊、5邊)等等，來觀察區域變化的狀況，並試著進一步地拓展清楚一致的規律。

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