2024.10.14 秋季第八週

微積分

親愛的爸爸媽媽，收信愉快

        這一季十二年級的第一個數學主課是微積分，在四週內，我們完成了一門既挑戰又豐富的微積分課程。

       在高中階段，孩子們學習從具體的思維轉向抽象思維，而微積分是目前這個階段的頂峰，他們正處在理解力發展的重要階段，很多具體的問題他們已經能輕鬆解決，但抽象的概念對他們來說還是比較陌生的。我一再地告訴他們，數學的難有兩種：一種是邏輯和概念上的難，這些是真正的難；而另一種其實是不熟悉，我們現階段遇到比較多的都是不熟悉的難。希望藉由這樣的心理建設，能讓他們面對數學時，不要望而退步。

       比如，微積分中一個重要的概念叫「微分商」，剛開始我們會用具體的例子來解釋，像是計算物體的瞬時速度，或者找出一個盒子在不同尺寸下的最佳體積。隨著他們慢慢理解這些具體例子，我們再引導他們去思考「微分商」這個比較抽象的數學概念。這樣一步步的過渡，不但讓他們更好地掌握知識，也幫助他們未來更容易接受和理解更高級的數學思維。

       微積分和之前所學的數學最大的差異的地方，就是它強調「變化」和「過程」的觀念。這對於我們的孩子來說，這是一個陌生的概念。之前的數學可能只是在算一個靜態的結果，但微積分讓孩子們學會如何觀察變化，理解事物是怎麼一步步改變的。比如，我們會討論物體的運動過程、函數的變化趨勢，或者無限逼近的現象，讓孩子們去熟悉並理解這些動態的過程。

       在課堂上，我們一直強調從具體經驗出發，循序漸進地引導他們理解抽象的概念。比方說在講解微積分基本定理時，我們會用車子行駛時的距離和速度來看，它們本來就是一件事的一體兩面，就像微積分裡的微分和積分一樣。他們可以從日常相關的問題，比如車速的變化、人口增長等，看到數學是如何應用於現實生活中的，進而對「學數學有什麼用」這樣的問題有進一步的理解。

       其實，微積分也能激發高中生們對一些更深層次問題的思考，當我在舉例積分的例子，我會用從家裏到學校爲例，它是一步步的距離加總起來的結果。同理，現在我們所成為的樣子，也是我們每一天的所作所爲所累積出來的結果。我們現在每一天、每一刻所做的事，就會積分成我們未來的樣子。這些無限小、連續、累積加總等概念，會讓他們開始反思世界的本質、生命的存在等等。我希望透過這堂課，不僅僅是一門數學課，還是一個讓他們進一步思考存在和意識的起點。這也使得數學不再只是冰冷的數字，而是與高中生們的精神世界產生了更深的聯結。

       不可諱言，這堂課對有些同學來說還是難的，但就像前面所說的，如果可以理解所謂的難是什麼，能對他們之後的學習有所幫助。或者說積分對應到人生的想法，如果能在他們心裏留下種子，慢慢生根發芽，那也就不虛此行了。

微積分 主課程老師 翁先弘

2024.10.12

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