光之家族111學年秋季第七週

十二年級爸爸媽媽：

收信平安！

  數學主課程，至今已進行兩週。如大家所知的，因為孩子們山林課程的改變，這堂主課程，從三週延長到了五週。對於畏懼數學的青少年來講，聽到消息的當下，當然就是“唉唉叫”；但從客觀的角度來說，這確實未嘗不是一個禮物。微積分的學習，對於很多人來說，都是困難的，基礎的掌握非常之重要。所以多出來的這兩週，剛好可以接著上一季的數學主課--「圓錐曲線」開始，慢慢進入，從橢圓、雙曲線到拋物線，從而完成了三種不同規律的曲線的介紹，再進入整合性的數學課程—微積分。

在這單元裡，我們重現了早期幾何學家阿波羅尼奧斯所發現的三種規律曲線，都可以透過平面與圓錐相截的截痕而得到。除了講述這些曲線的幾何定義外，也藉由丹德林球證明其和幾何定義相等，並透過證明來確認這三種曲線的焦點光學性質，讓同學對圓錐曲線的認識，除了方程式的計算之外，也能了解在各領域，比如建築、醫學、科學、生活上的各個應用。

結束了平面上的曲線，我們關注的點從靜態的形狀和模式，進入到變動的物體或現象，此時我們觀察的是變化，特別是相對變化，例如速度就是距離和時間的相對變化。為了描述變化，微積分的單元從介紹變數開始，並透過函數來描述變數彼此之間的關係。

那麼，這些學習，對於生活有意義嗎？--我在第一堂課的時候，就有青少年拋出了這個問題。--“老師，我們學習這些到底有什麼用？”當然有用！

雖然學習本身就是樂趣，學習數學本身培養了孩子們的邏輯性、整體思維，不一定要看得見的有用才需要學習。但微積分確實是存在於我們的生活中，我們生活中所遇到的事物，比如溫度的變化、睡眠的模式、音量的大小、電磁波的傳遞，都可以用函數模型來表示。讓同學理解函數不僅僅是數學表達式，而是每天觸手可及的。

我們以睡眠為例，就像大家所知道的，睡眠其實並不是一覺到天亮，而是有分不同階段的週期循環，這些週期就可以用三角函數的餘弦型態來表示。我打趣地讓孩子自己實驗，什麼時間點起床會是最有精神的；而為了引入變化，我們從沖好的熱咖啡談起，我們都知道將熱咖啡放在室溫下會隨著時間而慢慢接近室溫，但其實它又是另一個函數型態-指數函數。我讓孩子將重點放在觀察溫度的變化，計算出每單位時間咖啡的溫度是怎麼變化的。將這些變化後的溫度畫出來，並引導他們去了解--其實變化本身也在變化，也就是每單位時間溫度下降的幅度是不一樣的。

本週，在正式進入到微積分的定義前，我藉由這些生活中可觸及的例子，讓學生透過先實作式的觀察變化，並回顧無限小量的變化所造成的相對應變化的意義；然後將抽象的變化，以具象的圖形畫出來，並從中觀察到變化本身的速度其實也在變化。而微積分就是來分析並理解這些變化的工具。有了這些認識，下週他們將進入微分和導數的學習。

以上，分享給爸爸媽媽！

微積分主課程老師 翁先弘

2022/10/10

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